معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و دوم و بالاتر
فهرست مطالب عنوان :
فصل اول : مقدمه
1 .1 ) مقدمه
1 . 2 ) مرتبه، درجه و نوع معادله دیفرانسیل
1 . 3 ) جوابهای معادله دیفرانسیل
1 . 4 ) تشکیل معادله دیفرانسیل از یک رابطه اولیه
1 . 5 ) تعیین مسیرهای متعادمد یک دسته منحنی
فصل دوم : معادلات دیفرانسیل مرتبه اول
1 . 2 ) مقدمه
2 .2 ) معادلات جدا شدنی
2 . 3 ) معادلات همگن
2 . 4 ) معادلات کامل
2 . 5 ) عامل انتگرالساز
2 . 6 ) معادلات دیفرانسیل خطی
2 . 7 ) معادلات خاص
2 . 8 ) حالتهای خاص
2 . 9 ) معادلات دیفرانسیل مرتبه اول درجهn.
فصل سوم : معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر
3 . 1 ) معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی
3 . 2 ) معادلات همگن یا ضرایب ثابت
3 . 3 ) روش ضرایب نامعین
3 . 4 ) روش عملکردهای معکوس.
3 . 5 ) معادله اویلر.
3 . 6 ) استفاده از یک جواب مشخص جهت یافتن جواب دیگر
3 . 7 ) روش تغییر پارامترها.
3 . 8 ) قضیه آبل.
3 . 9 ) شکل نرمال معادله مرتبه دوم.
3 . 10 ) روش کاهش مرتبه.
«معادلات دیفرانسیل»
«فصل اول»
مرتبه اول و دوم و بالاتر
1 . 1 ) مقدمه :
معادله دیفرانسیل معادله ای است که شامل مشتقات اول یا بالاتر باشد معادلات دیفرانسیل به دو دسته تقسیم می شوند : معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی یا پاره ای.
معادلات دیفرانسیل معمولی شامل مشتقات معمولی بوده و دارای یک متغیر مستقل هستند. معادلات دیفرانسیل پاره ای شامل مشتقات جزئی یا پاره ای بوده و دارای بیش از یک متغیر مستقل هستند.
شکل کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه nام معمولی به صورت زیر است :
1 . 2 ) مرتبه، درجه و نوع معادله دیفرانسیل :
مرتبه : مرتبه بالاترین مشتق بوجود در معادله دیفرانسیل را مرتبه آن معادله دیفرانسیل نامند.
درجه : توان بالاترین مرتبه مشتق موجود در معادله دیفرانسیل را درجه آن معادله دیفرانسیل می نامند.
مثال ) مرتبه و درجه معادلات زیر را تعیین کنید؟
مرتبه 2، درجه 3 :
مرتبه 2، درجه 1 :
معادلات دیفرانسیل معمولی را می توان به دو دسته خطی و غیرخطی تقسیم کرد : هرگاه معادلات دیفرانسیل برحسب متغیر وابسته و. مشتقات آن یعنی و خطی باشد آن را خطی می نامیم.
معادله زیر یک معادله دیفرانسیل مرتبه nام خطی در حالت کلی را نشان می دهد :
در غیر اینصورت معادله غیرخطی است.
اگر باشد معادله همگن واگر غیر صفر باشد معادله ناهمگن است.
مثال ) مرتبه و نوع معادلات دیفرانسیل زیر را مشخص کنید؟
غیرخطی و مرتبه اول :
خطی و مرتبه دوم :
غیرخطی و غیرهمگن
1 . 3 ) جوابهای معادله دیفرانسیل :
جواب عمومی : جوابی است که دارای یک یا چند ثابت دلخواه بوده و به ازای هر مقدار از این ثابتها در معادله دیفرانسیل صادق باشد.
جواب عمومی معادله دیفرانسیل مرتبه nام دارای n ثابت دلخواه است……….